KELOMPOK 1
1. Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 2 , b1 = 3 adalah
a. bn(h) = 1/6(-2)n + 1/3. (1)n
b. (a + 3) (a - 2)
c. bn(h) = 1/5 (-3)n +1/5 . 2n
d. b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20
Pembahasan :
bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0
= a2 + a- 2 = 0
= (a+ 2) (a- 1) = 0
a1 = -2 a2 = 1.
Solusi homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n =>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . (1)n
Dengan kondisi batas b0= 2 dan b1= 3 ,maka:
b0(h) = A1 (-2)(2) + A2 . 1(2) => 0 = -4 A1 + 2 A2
b1(h) = A1 (-2)(3) + A2 . 1(3) => 1 = -6 A1 + 3A2
-4 A1 + 2 A2 = 0 x 3 -12A1 + 6 A2 = 0
-6 A1 + 3A2 = 1 x 2 -12A1 + 6 A2 = 2 +
6A2 = 2
A2 = 1/3
-4A1 + 2A2 = 0
-4A1 + 2(1/3) = 0
A1 = 1/6
Maka akan diperoleh harga A1 = 1/6 dan A2 =1/3
Jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah
bn(h) = 1/6(-2)n + 1/3. (1)n
2. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 0 .
a. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
b. an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
c. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
d. an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
Persamaan karakteristiknya adalah a2 + 4 a + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = a2 = -2 , m = 2, Oleh arena akar-akar karakteristiknya ganda,Maka solusi homogennya berbentuk
an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
3. a - an-1 = 2n2,n 1, dan 0 = 9 Solusi Umumnya adalah……
a. 5 + (n) (n+1)(4n+2)
b. 9 + (n) (n+1)(2n+1)
c. 2 + (n+2)(n)(n+2n)
d. 9 + (n)(n+1)(2n+1)
Pembahasan :
f (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :
= A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)
= 9 + (n) (n+1)(2n+1)
5. Berapa banyak kah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100?
(A) 90
(B) 9
(C) 5
(C) 5
(D) 10
Jawab :
Dari tabel di atas, terlihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100
adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku
ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah (C) 5.
Dari tabel di atas, terlihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100
adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku
ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah (C) 5.
6. Diketahui : Suatu barisan c0, c1, c2, didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :
Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,
Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)
Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.
Ditanya : Hitunglah c5 !
Penyelesaian :
Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
· c2 = c1 + 2 c0 + 1 =
2 + 2.1 + 1 = 5
· c3= c2 + 3 c1 + 1 =
5 + 3.2 + 1 = 12
· c4= c3 + 4 c2 + 1 =
12 + 4.5 + 1 = 33
· c5= c4 + 5 c3 + 1 =
33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94
A. C5 = 90
B. C5 = 92
C. C5 = 84
D. C5 = 94
7. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!……a. 2n
b. 4n
c. n
d. 2
Jawab:
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2
= 23 Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
8. Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98
a. an= 7n (2) , n > 1
b. an= 7n (1) , n > 0
c. an= 7n , n > 2
d. an= 7n(2) , n > 0
Penyelesaian
Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :
a3 = 7 a2 = 7 (7pangkat2 a0) = 7pangkat3 a0 ..........dan seterusnya
sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah
an= 7n (2) , n > 0
9. Tentukan solusi umum dari relasi rekurensi dan 0=9
a. 5 + (n) (n+1) (4n+2)
b. 9 + (n) (n+2) (2n+1)
c. 2 + (n+2) (n) (n+2n)
d. 9 + (n) (n+1) (2n+1)
Penyelesaian
f(n) = sehingga solusi umumnya :
n = 0 + (i)
= 0 + 2
= 0 + 2
= 9 + (n) (n+1) (2n+1)
10. Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tsb mulai dari f1 s.d. fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu > 150?
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 15
Jawab :
Dari tabel di atas juga, dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn > 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga, jawaban yang benar adalah (B) 10
1. HANDY
2. NAUFAL
3. ICHSAN
4. TITHA
5. Aprylian Maulana
6. ZHENDY
7. KUKUH
8. RICO
9. ERLANDIKA
10. JOV
